Det gyldne snit - matematisk forklaring

Af Martin Henriksen

"Det gyldne snit" er egentlig en ret dårlig betegnelse. "Det gyldne forhold", som det også hedder på engelsk (golden ratio), er mere passende, for egentlig er der tale om et forhold.

Matematisk kan man bedst forklare det gyldne snit ved hjælp af en linje som denne:

Vi tænker os et linjestykke af en vis længde, som linestykket herover (a+b). Nu vil vi så dele linjen i to dele således at følgende er opfyldt:
Forholdet mellem hele linjens længde og det store stykke skal være det samme som forholdet mellem det store stykke og det lille stykke.

Matematisk kan det udtrykkes således:

Regner vi videre får vi en andengradsligning, der kan løses efter standardmetoden:

Vi ser, at for det valgte b=1 gælder a=1,618. Vi kan derfor generalisere og beskrive forholdet a:b som 1,618:1.

 

Fibonacci-tal
Der er i øvrigt en mærkværdig sammenhæng mellem det gyldne snit og de såkaldte Fibonacci-tal, altså talrækken:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...

Ethvert tal i Fibonacci talrækken er defineret som summen af de to foregående tal. 13 er fx summen af 5 og 8. Og det næste tal efter 21 er 34, idet 13+21 er 34. Men hvor kommer det gyldne snit ind i billedet? Jo, forholdet mellem to nabo-Fibonaccital er tilnærmelsesvis 1,618:1!

5:3 = 1,67
8:5 = 1,6
13:8 = 1,625
21:13 = 1,615

Jo større Fibonacci tallene er, jo nærmere kommer man det gyldne snit (eller gyldne forhold). Og det viser sig, at grænseværdien faktisk er nøjagtig den samme, hvilket blev bevist 1753.

 

Aspect ratio og billedkomposition med eksempler fra Once Upon a Time in The West
Flere billedeksempler fra Once Upon a Time in The West
Det gyldne snit

 

Eksterne links:

Matematik nørd links:
Golden Ratio (på engelsk; matematik på universitetsniveau)
Fibonacci tal (på engelsk; matematik på universitetsniveau)

Fibonacci og kunst link:
Fibonacci in Art